Cumpleaños matematico

Para hoy una curiosidad matematica, conocida como la paradoja del cumpleaños


Vamos con el enunciado


Imaginemos que estamos en una reunión, ya sea familiar, de amigos, da igual, lo importante es que el grupo sea aleatorio. Digamos que somos 25 personas, para ser algo más concretos. ¿Cuál creéis que es la probabilidad de que en ese grupo de personas, haya dos que cumplan años el mismo día del mismo mes?


La respuesta rápida es que es pequeña, porque vemos muy poco probable que se coincida en el mismo día del mismo mes. ¿a que probabilidad apostarias?, (hagamos una porra, escribidlo que que creeis a priori, sed sinceros y luego seguir leyendo)


Si calculamos lo que pone en el enunciado, veremos que no es así:


En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0.507, es decir, hay un 50.7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.


¿Qué quiere decir esto? Que en una reunión de 23 o más personas, es más raro que no haya dos personas que coincidan en sus cumpleaños, que sí las haya.


Demuéstramelo, va...


Pues empecemos. Tendremos que tener en cuenta un grupo menor de 365 personas, ya que si superamos ese número, la probabilidad es 1, del 100% (seguro que alguien coincide, ya que no hay más días del año).


La idea será calcular no la probabilidad de que coincidamos, sino la de que no coincidamos (la llamaremos p, por no ir diciendo "probabilidad" todo el rato). Después haremos 1-p, y esa será la probabilidad de coincidencia.


Para los no iniciados, decir 1-p es lo mismo que decir "¿Si tengo un 20% de probabilidad de que me toque un premio, cuál es la probabilidad de que no me toque? Haríamos 1-0.2 (100% - 20%) y obtendríamos el 0.8 restante (80%).


- Cogemos a la primera persona. Cumple años un día cualquiera del año.


- Cogemos a la segunda. Existe una probabilidad de frac{364}{365} de que no coincidan en su cumpleaños (arriba los casos favorables, todos los días del año menos el del cumpleaños del primero; debajo los casos totales).


- Cogemos a un tercero. Para que no coincida ni con el primero ni con el segundo, por el mismo motivo que el anterior, tendrá la probabilidad de frac{363}{365}.


- Etc etc.


Como tenemos sucesos independientes, la probabilidad de que todos los casos anteriores se produzcan (ya que nadie puede coincidir), será el producto de probabilidades, que en el caso de n personas, será el siguiente:p=cfrac{364}{365} cdot cfrac{363}{365} cdot cfrac{362}{365} cdot ldots cdot cfrac{365-n+1}{365}


O en factorial (aquí ya he perdido a todos los lectores de letras, si es que quedaba algún curioso):p=cfrac{365!}{365^n cdot (365-n)!}


Pues ya tenemos la fórmula general. Como habíamos dicho que lo que queríamos saber era cuándo había coincidencia, retocaremos la fórmula:


1-cfrac{365!}{365^n cdot (365-n)!}


Y esta sí que es la fórmula final.


Sólo tendremos que sustituir n por el número de personas, y veremos la probabilidad de que una parejita coincida en sus cumpleaños. Algunos ejemplos:


- Con n = 25 personas, la probabilidad es de 0.5687, es decir, un 56.87%.


- Con n = 40, la probabilidad llega a 0.891232. ¡Esto quiere decir que hay casi un 90% de probabilidad de que alguien coincida!


 


Moraleja, la proxima vez que esteis en un grupo grande, familia, amigos, en clase jugaros con alguien a que hay al emnso hay dos personas que cumplen lso años el mismo día, a partir de 23 personas teneis las de ganar..